如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．

（1）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；
（2）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程。

(1)根據(jù)已知條件設(shè)出點(diǎn)A,B的坐標(biāo)，，然后借助于拋物線的導(dǎo)數(shù)來(lái)得到斜率值，．，進(jìn)而解方程，得到證明。
(2)拋物線方程為或．

解析試題分析：（1）證明：由題意設(shè)．
由得，得，所以，．
因此直線的方程為，
直線的方程為．
所以，①  ．②
由①減②得，因此，即．
所以 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．              6分
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：
，，
所以是方程的兩根，
因此，，
又，所以．
由弦長(zhǎng)公式得．
又，所以或，
因此所求拋物線方程為或．    12分
考點(diǎn)：直線與拋物線的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用直線與拋物線的相切得到切線的斜率，同時(shí)聯(lián)立方程組求解弦長(zhǎng)，屬于中檔題。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓：，左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)，為正三角形且周長(zhǎng)為6.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；
（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過(guò)直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過(guò)定點(diǎn)；并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？(點(diǎn)為直線恒過(guò)的定點(diǎn))若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求整數(shù)的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，設(shè)拋物線（）的準(zhǔn)線與軸交于，焦點(diǎn)為；以、為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，與拋物線交于、，如果以線段為直徑作圓，試判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）設(shè)圓C：，此圓與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，若在軸上方的兩交點(diǎn)分別為，，坐標(biāo)原點(diǎn)為，的面積為。
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求關(guān)于的函數(shù)的表達(dá)式及的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC。

（1）求AB和OC的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、B不重合）。過(guò)點(diǎn)E作直線l平行BC，交AC于點(diǎn)D。設(shè)AE的長(zhǎng)為m，△ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CE，求△CDE面積的最大值；此時(shí)，求出以點(diǎn)E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)為，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且。（14分）
(1)求橢圓的方程；
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，證明：三點(diǎn)共線．

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