Question

13．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），過點P（-2，-4）的直線L的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$，t（為參數(shù)），直線L與曲線C分別交于M，N兩點．
（1）寫出曲線C的平面直角坐標方程和直線L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲線C的普通方程；直接消掉參數(shù)t可得直線l的普通方程；（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得關(guān)于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比數(shù)列，得|MN|²=|PM||PN|，變形后代入韋達定理可得a的方程．

解答 解：（1）由ρsin²θ=2acosθ，得ρ²sin²θ=2aρcosθ，即y²=2ax，
由$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$消掉t，得y=x-2，
所以曲線C和直線l的普通方程分別為：y²=2ax，y=x-2；
（2）把直線l的參數(shù)方程代入y²=2ax，得t²-2$\sqrt{2}$（4+a）t+8（4+a）=0，
設(shè)點M，N分別對應(yīng)參數(shù)t₁，t₂，則有t₁+t₂=2$\sqrt{2}$（4+a），t₁t₂=8（4+a），
因為|MN|²=|PM||PN|，
所以（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁t₂=t₁t₂，即8（4+a）²=5×8（4+a），
解得a=1．

點評 本題考查參數(shù)方程、簡單的極坐標方程及其與普通方程的互化，考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的意義，考查等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識．