Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx+1（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對(duì)于任意的x∈（1，e]，任意的a∈（-2，-1），不等式ma-$\frac{1}{2}$f（x）＜a²成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，令f'（x）＞0，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，令f'（x）＜0，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由題意，ma-$\frac{1}{2}$f（x）＜a²成立，2ma-2a²＜f（x）_min，求出函數(shù)最小值，可得m＞a+$\frac{1}{a}$，設(shè)h（a）=a+$\frac{1}{a}$，h′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，h（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{2{x}^{2}+a}{x}$，x≥0，
a≥0，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
a＜0，f′（x）＞0，x＞$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)增區(qū)間是（$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，+∞）；f′（x）＜0，0＜x＜$\sqrt{-\frac{a}{2}}$，函數(shù)單調(diào)遞增，單調(diào)減區(qū)間是（0，$\sqrt{-\frac{a}{2}}$）；
（2）由題意，ma-$\frac{1}{2}$f（x）＜a²成立，2ma-2a²＜f（x）_min，
由（1）知，f（x）在x∈[1，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=2，
∴2ma-2a²＜2，
∵a∈（-2，-1），
∴m＞a+$\frac{1}{a}$，
設(shè)h（a）=a+$\frac{1}{a}$，h′（a）=1-$\frac{1}{{a}^{2}}$＞0，h（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞增，
∴h（x）＜h（-1）=-2，
∴m≥-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，函數(shù)的最值問題，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．