Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）記，判斷在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；

（2）記在內(nèi)的零點(diǎn)為，，若（）在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，（），判斷與的大小，并給出對(duì)應(yīng)的證明．

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間有且僅有唯一實(shí)根；

（2），證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）求出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，在利用零點(diǎn)的存在性定理，即可得到結(jié)論；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，且存在使得，故時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，得出因而，根據(jù)的單調(diào)性，判定出與的大小關(guān)系，在給出相應(yīng)的證明．

試題解析：（1）證明：，定義域?yàn)?/span>，，

而，故，即在上單調(diào)遞增，

又，，而在上連續(xù)，故根據(jù)根的存在性定理有：在區(qū)間有且僅有唯一實(shí)根

（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，且存在使得，故時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因而，

顯然當(dāng)時(shí)，，因而單增；當(dāng)時(shí)，，，因而遞減；在有兩不等實(shí)根，，

則，

顯然當(dāng)時(shí)，，下面用分析法給出證明．要證：即證，而在上遞減，故可證，又由，即證，即，

記，，其中．

，

記，，當(dāng)時(shí)，；時(shí)，故，而故，而，從而，因此，

即單增．從而時(shí)，即，

故得證