Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{6}{x-1}$，
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明；
（Ⅱ）x∈[2，4]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，證明如下：
設(shè)1＜x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{6{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數(shù)f（x）在[2，4]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（4）=2，f（x）_max=f（2）=6．

點(diǎn)評 本題考查了通過定義證明函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的最大值和最小值問題，是一道基礎(chǔ)題．