Question

（2012•黑龍江）選修4-4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程是

x=2cos? y=3sin?

(?為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C₂的坐標(biāo)系方程是ρ=2，正方形ABCD的頂點都在C₂上，且A，B，C，D依逆時針次序排列，點A的極坐標(biāo)為(2，

π

3

)
（1）求點A，B，C，D的直角坐標(biāo)；
（2）設(shè)P為C₁上任意一點，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）確定點A，B，C，D的極坐標(biāo)，即可得點A，B，C，D的直角坐標(biāo)；
（2）利用參數(shù)方程設(shè)出P的坐標(biāo)，借助于三角函數(shù)，即可求得|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范圍．

解答：解：（1）點A，B，C，D的極坐標(biāo)為(2，

π

3

)，(2，

5π

6

)，(2，

4π

3

)，(2，

11π

6

)
點A，B，C，D的直角坐標(biāo)為(1，

3

)，(-

3

，1)，(-1，-

3

)，(

3

，-1)
（2）設(shè)P（x₀，y₀），則

x0=2cosφ y0=3sinφ

(φ為參數(shù)）
t=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²=4x²+4y²+16=32+20sin²φ
∵sin²φ∈[0，1]
∴t∈[32，52]

點評：本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．