Question

12．定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：
①f（2x）=cf（x）（c為正常數(shù)）；
②當(dāng)2≤x≤4時(shí)，f（x）=1-|x-3|．若函數(shù)圖象上所有取極大值的點(diǎn)均落在同一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上，則常數(shù)c=4或$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程可設(shè)為x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0），得到$\frac{9}{p}$=（$\frac{c}{4}$）^n-2對(duì)n∈N^*恒成立或3q=（$\frac{c}{\sqrt{2}}$）^n-2對(duì)n∈N^*恒成立，求出c的值即可．

解答 解：記函數(shù)f（x）=cn-2（1-|$\frac{x}{{2}^{n-2}}$-3|），（2n-1≤x≤2n，n∈N*）的極大值點(diǎn)為p_n（x_n，y_n）．
以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程可設(shè)為x²=py（p≠0）或y²=qx（q≠0）．
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在拋物線x²=py（p≠0）上，則（3•2^n-2）²=pc^n-2，
即$\frac{9}{p}$=（$\frac{c}{4}$）^n-2對(duì)n∈N^*恒成立，從而c=4，p=9，拋物線方程為x²=9y；
若p_n（3•2^n-2，c^n-2）．在拋物線y²=qx（q≠0）上，則（c^n-2）²=3q•2^n-2，
即3q=（$\frac{c}{\sqrt{2}}$）^n-2對(duì)n∈N^*恒成立，從而c=$\sqrt{2}$，q=$\frac{1}{3}$，拋物線方程為y²=$\frac{1}{3}$x，
綜上：c=4或$\sqrt{2}$，
故答案為：4或$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．