Question

【題目】已知五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=，．

（1）求證：AB平面ADE；

（2）求平面EBC與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)線(xiàn)面垂直判定定理得結(jié)果,（2）先根據(jù)條件證得直線(xiàn)DE,DA,DC兩兩互相垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span> ，，所以

因?yàn)樗倪呅?/span>CDEF為矩形，所以，

因?yàn)?/span>,所以，

因?yàn)?/span>，所以

(2)因?yàn)?/span> ，，所以，

由（1）得，所以直線(xiàn)DE,DA,DC兩兩互相垂直，

故以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以正方向?yàn)?/span>軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則E（0,0,2）A（2,0,0），C（0,4,0），B（2,2,0），F（0,4,2），

設(shè)平面EBC和平面BCF法向量分別為，，

則,所以，

取得，

同理，所以

取得

設(shè)所求角為，則，即所求銳二面角的余弦值為.