Question

2．（1）求函數(shù)y=2x+4$\sqrt{2-x}$，x∈[0，2]的值域；
（2）化簡：$\frac{\sqrt{1-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{1-co{s}^{2}40°}}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$\sqrt{2-x}=t$，則$x=2-{t^2}，t∈[0，\sqrt{2}]$，原函數(shù)可化為y=-2t²+4t+4，$t∈[0，\sqrt{2}]$，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得原函數(shù)的值域；
（2）利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡得答案．

解答 解：（1）設(shè)$\sqrt{2-x}=t$，則$x=2-{t^2}，t∈[0，\sqrt{2}]$
原函數(shù)可化為y=-2t²+4t+4，$t∈[0，\sqrt{2}]$
當t=0時，y取得最小值4；當t=1時，y取得最大值6．
∴原函數(shù)的值域為[4，6]；
（2）$\frac{\sqrt{1-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{1-co{s}^{2}40°}}$=$\frac{\sqrt{si{n}^{2}40°+co{s}^{2}40°-2sin40°cos40°}}{cos40°-\sqrt{si{n}^{2}40°}}$
=$\frac{|cos40°-sin40°|}{cos40°-|sin40°|}$=$\frac{cos40°-sin40°}{cos40°-sin40°}$=1．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．化簡$\sqrt{1-2sin40°cos40°}$