Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，{a_n}中有連續(xù)三項的積為1，則該三項的和的取值范圍是______．

Answer 1

設(shè)連續(xù)三項中間的項為a_n，則前一項為a_n-1，后一項為a_n+1，
∵{a_n}是等比數(shù)列，根據(jù)題意有a_n-1•a_n•a_n+1=（a_n）³=1，
∴a_n=1，設(shè)公比為q，a_n-1=

1

q

，a_n+1=q，
當(dāng)q＞0時，a_n-1+a_n+a_n+1=

1

q

+1+q≥3，當(dāng)且僅當(dāng)q=1時取等號，
此時該三項的和的取值范圍是[3，+∞）；
當(dāng)q＜0，即-q＞0時，a_n-1+a_n+a_n+1=

1

q

+1+q=1-[（-

1

q

）+（-q）]≤1-2=-1，當(dāng)且僅當(dāng)q=-1時取等號，
此時該三項的和的取值范圍是（-∞，-1]，
綜上，該三項的和的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故答案為：（-∞，-1]∪[3，+∞）