Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（2-[x]•|x-1|，（0≤x＜2）}\\{1，（x=2）}\end{array}\right.$，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)．設(shè)n∈N*，定義函數(shù)f_n（x）：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x））（n≥2），則下列說法正確的有（　�。﹤�
①$y=\sqrt{x-f（x）}$的定義域為$[{\frac{2}{3}，2}]$；
②設(shè)A={0，1，2}，B={x|f₃（x）=x，x∈A}，則A=B；
③${f_{2016}}（{\frac{8}{9}}）+{f_{2017}}（{\frac{8}{9}}）=\frac{13}{9}$；
④若集合M={x|f₁₂（x）=x，x∈[0，2]}，則M中至少含有8個元素．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 ①根據(jù)x-f（x）≥0對x分區(qū)間討論求解；
②逐個代入求值判斷即可；
③通過為$f（{\frac{8}{9}}）=\frac{2}{9}，f（{\frac{2}{9}}）=\frac{14}{9}，f（{\frac{14}{9}}）=\frac{5}{9}，f（{\frac{5}{9}}）=\frac{8}{9}$，即${f_5}（{\frac{8}{9}}）={f_1}（{\frac{8}{9}}），T=4$，根據(jù)周期求解即可；
④根據(jù)前三問結(jié)果判斷得出結(jié)果．

解答 解：①x-f（x）≥0，當(dāng)0≤x＜1時，$[x]=0，f（x）=2（{1-x}）≤x⇒x≥\frac{2}{3}$，
所以$\frac{2}{3}≤x＜1$；
當(dāng)1≤x＜2時，[x]=1，f（x）=x-1≤x成立，
所以1≤x＜2；
當(dāng)x=2時，f（x）=1≤2成立，
所以$\frac{2}{3}≤x＜1$；
因此定義域為$[{\frac{2}{3}，2}]$；
②f（1）=0，f（0）=2，f（2）=1
∴1∈B；
f（0）=2，f（2）=1，f（1）=0，
∴0∈B；
f（2）=1，f（1）=0，f（0）=2，
∴2∈B，
因此A=B；
③因為$f（{\frac{8}{9}}）=\frac{2}{9}，f（{\frac{2}{9}}）=\frac{14}{9}，f（{\frac{14}{9}}）=\frac{5}{9}，f（{\frac{5}{9}}）=\frac{8}{9}$，即${f_5}（{\frac{8}{9}}）={f_1}（{\frac{8}{9}}），T=4$，因此${f_{2016}}（{\frac{8}{9}}）=\frac{8}{9}，{f_{2017}}（{\frac{8}{9}}）=\frac{2}{9}⇒{f_{2016}}（{\frac{8}{9}}）+{f_{2017}}（{\frac{8}{9}}）={f_4}（{\frac{8}{9}}）+{f_1}（{\frac{8}{9}}）=\frac{10}{9}$；
④由上可知$0，1，2，\frac{8}{9}，\frac{2}{9}，\frac{14}{9}，\frac{5}{9}$為M中元素，又$f（{\frac{2}{3}}）=\frac{2}{3}$，所以M中至少含有8個元素．
綜上共有3個正確說法，
故選C．

點評 本題是對新定義類型函數(shù)的考查，難點是對新定義的正確理解和應(yīng)用．