Question

2．已知圓O的半徑為1，PA，PB為該圓的兩條切線，A，B為兩切點(diǎn)，求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-3
• B． 2$\sqrt{2}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$+3
• D． 2$\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 要求$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值，我們可以根據(jù)已知中，圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，結(jié)合切線長定理，設(shè)出PA，PB的長度和夾角，并將$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$表示成一個關(guān)于x的函數(shù)，然后根據(jù)求函數(shù)最值的辦法，進(jìn)行解答．

解答 解：如圖所示：設(shè)OP=x（x＞0），
則PA=PB=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
∠APO=α，則∠APB=2α，sinα=$\frac{1}{x}$，
$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|cos2α=$\sqrt{{x}^{2}-1}$•$\sqrt{{x}^{2}-1}$（1-2sin²α）
=（x²-1）（1-$\frac{2}{{x}^{2}}$）=x²+$\frac{2}{{x}^{2}}$-3≥2$\sqrt{2}$-3，
∴當(dāng)且僅當(dāng)x²=$\sqrt{2}$時取“=”，故$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的最小值為2$\sqrt{2}$-3．
故選A．

點(diǎn)評 本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線長定理，著重考查最值的求法，同時也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題的能力及運(yùn)算能力．