【題目】已知函數(shù)(為常數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在與軸的交點(diǎn)處的切線斜率為-1.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí), ;
(3)證明:當(dāng)時(shí), .
【答案】(1), 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;(2)證明見解析;(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的f′(x)=ex﹣a.通過f′(x)=ex﹣2>0,即可求解函數(shù)f(x)在區(qū)間(﹣∞,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)求出f(x)的最小值,化簡f(x)≥1﹣ln4.構(gòu)造g(x)=ex﹣x2﹣1,通過g′(x)>0.判斷g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得到g(x)>g(0),推出結(jié)果.
(3)首先證明:當(dāng)x>0時(shí),恒有.令,則h′(x)=ex﹣x2.推出h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,得到x+ln3>3lnx.利用累加法推出.
試題解析:
(1)由,得.
又,所以.所以, .
由,得.
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
(2)證明:由(1)知.
所以,即, .
令,則.
所以在上單調(diào)遞增,所以,即.
(3)首先證明:當(dāng)時(shí),恒有.
證明如下:令,則.
由(2)知,當(dāng)時(shí), ,所以,所以在上單調(diào)遞增,
所以,所以.所以,即.依次取,代入上式,則, , .
以上各式相加,有.
所以,
所以,
即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的定義域和值域;
(Ⅱ)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>,求實(shí)數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列所給4個(gè)圖象中,與所給3件事吻合最好的順序?yàn)?( )
①我離開學(xué)校不久,發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在教室,于是立刻返回教室里取了作業(yè)本再回家;
②我放學(xué)回家騎著車一路以常速行駛,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽擱了一些時(shí)間;
③我放學(xué)從學(xué)校出發(fā)后,心情輕松,緩緩行進(jìn),后來為了趕時(shí)間開始加速.
A.(1)(2)(4)B.(4)(1)(2)C.(4)(1)(3)D.(4)(2)(3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽配廠生產(chǎn)某種零件,每個(gè)零件的出廠單價(jià)為60元,為了鼓勵(lì)更多銷售商訂購,該廠決定當(dāng)一次訂購超過100個(gè)時(shí),每多訂購一個(gè),訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低元,但實(shí)際出廠單價(jià)不低于51元.
當(dāng)一次訂購量最少為多少時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰好為51元?
設(shè)一次訂購量為x個(gè),零件的實(shí)際出廠單價(jià)為p元,寫出函數(shù)的表達(dá)式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一個(gè)頂點(diǎn),且右焦點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程.
(2)若點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn),是否存在斜率為,且過定點(diǎn)的直線,使與橢圓交于不同兩點(diǎn),且滿足? 若存在,求直線的方程;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”.區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”.給出下列三個(gè)函數(shù):
①;②;③;
則其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),若在上存在極值,求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖.
(1)求圖中的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( )
A. “f(0)”是“函數(shù)f(x)是奇函數(shù)”的充要條件
B. 若p:,,則:,
C. “若,則”的否命題是“若,則”
D. 若為假命題,則p,q均為假命題
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