Question

若不等式bx+c+9lnx≤x²對任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將不等式恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答： 解：若不等式bx+c+9lnx≤x²對任意的x∈（0，+∞），b∈（0，3）恒成立，
則c≤x²-bx-9lnx恒成立即可，
設(shè)f（x）=x²-bx-9lnx，
則f′（x）=2x-b-

9

x

=

2x2-bx-9

x

，
設(shè)g（x）=2x²-bx-9，如圖
∵g（0）=-9＜0，判別式△=b²+72＞0，對稱軸x=-

-b

2×2

=

b

4

＞0，
所以由g（x）=0得x=

b- b2+72

4

＜0（舍去）或x=

b+ b2+72

4

，
即當(dāng)x=

b+ b2+72

4

時f（x）取得極小值，
∵b∈（0，3），
所以當(dāng)b=3時，極小值點(diǎn)最小為x=

3+ 32+72

4

=

3+9

4

=3，
此時f（3）=3²-3×3-9ln3=-9ln3，
故c＜-9ln3，
故答案為：（-∞，-9ln3）

點(diǎn)評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數(shù)分離法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)是解決本題的根據(jù)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．