Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D為A₁C₁的中點(diǎn)，E為B₁C的中點(diǎn)．
（1）求直線BE與A₁C所成的角；
（2）在線段AA₁中上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出|

AF

|；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）先以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求的相關(guān)向量的坐標(biāo)，最后用向量夾角公式求解．（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，要使CF⊥平面B₁DF，只要證明

CF

⊥

B1F

且

CF

⊥

B1D

即可，用向量法只要數(shù)量積為零即可．

解答：解：（1）以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵AC=2a，∠ABC=90°，
∴AB=BC=

2

a．
∴B（0，0，0），C（0，

2

a，0），A（

2

a，0，0），A₁（

2

a，0，3a），C₁（0，

2

a，3a），B₁（0，0，3a）．
∴D(

2

2

a，

2

2

a，3a），E（0，

2

2

a，

3

2

a)，
∴

CA1

=(

2

a，-

2

a，3a），

BE

=（0，

2

2

a，

3

2

)．
∴|

CA1

|=

13

a，|

BE

|=

11

2

a，∴

CA1

•

BE

=0-a2+

9

2

a2=

7

2

a2，
∴cosθ=|

CA1 • BE

CA1 • CA1

|=

7 143

143

．故BE與A₁C所成的角為arccos

7 143

143

．

（2）假設(shè)存在點(diǎn)F，要使CF⊥平面B₁DF，只要

CF

⊥

B1F

且

CF

⊥

B1D

．
不妨設(shè)AF=b，則F（

2

，0，b），

CF

=(

2

a，-

2

a，b），

B1F

=(

2

a，0，b-3a），

B1D

=(

2

2

a，

2

2

a，0），

CF

•

B1D

=a2-a2=0，
∴

CF

⊥

B1D

恒成立．

B1F

•

CF

=2a2+b(b-3a)=0?b=a或b=2a，
故當(dāng)|

AF

|=a或2a時(shí)，
CF⊥平面B₁DF．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用向量法研究線線垂直和異面直線所成的角，選用向量法，避開(kāi)了作輔助線，優(yōu)越性很強(qiáng)，作為理科要注意應(yīng)用．