Question

已知映射f：P（m，n）→P′（

m

，

n

）（m≥0，n≥0）．設(shè)點(diǎn)，A（1，3），B（3，1），點(diǎn)M是線(xiàn)段AB上一動(dòng)點(diǎn)，f：M→M′．當(dāng)點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B結(jié)束時(shí)，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)度為

π

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，設(shè)出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)所給的映射的對(duì)應(yīng)法則得到兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入直線(xiàn)的方程求出一個(gè)圓的方程，得到軌跡是一個(gè)圓弧，求出弧長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M′從A′開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)B′結(jié)束，由題意知AB的方程為：x+y=4．設(shè)M′（x，y），
則M（x²，y²），由點(diǎn)M在線(xiàn)段AB上可得 x²+y²=4．
按照映射f：P（m，n）→P′（

m

，

n

），可得 A（1，3）→A′（1，

3

），B（3，1）→B′（

3

，1），
故tan∠A′OX=

3

1

=

3

，∴∠A′OX=

π

3

．
tan∠B′OX=

1

3

=

3

3

，∴∠B′OX=

π

6

，故∠A′OB′=∠A′OX-∠B′OX=

π

6

，
點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M′所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)度為弧長(zhǎng)

A′B′

=∠A′OB′•r=

π

6

×2=

π

3

，
故答案為

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查弧長(zhǎng)公式和軌跡方程，本題解題的關(guān)鍵是利用相關(guān)點(diǎn)法求出點(diǎn)的軌跡，題目不大，但是涉及到的知識(shí)點(diǎn)不少，屬于基礎(chǔ)題．