【題目】已知函數(shù).

（1）求在處的切線方程；

（2）求證：；

（3）求證：有且僅有兩個零點(diǎn).

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出，即可求出切線的點(diǎn)斜式方程，整理可得切線方程為；

（2）根據(jù)圖像與切線關(guān)系，先證，再證，通過構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)法求出即可；

（3）對再求導(dǎo)，可得在上單調(diào)遞增，再由零點(diǎn)存在性定理，可得存在唯一的，使得，進(jìn)而求出的單調(diào)區(qū)間，再由，即可證明結(jié)論.

（1），，，

故在處的切線方程為；

（2）先證.令，

，設(shè)

，故在上單調(diào)遞增，

因為，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

為的極小值也是最小值，

故，故成立；

再證.

令，，

令得，故在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增，是的極小值也是最小值，

故，故成立.

綜上知成立.

（3），

設(shè)

，

故在上單調(diào)遞增，

因，，

故根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知存在唯一的，使得，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

因為，故在上存在一個零點(diǎn)0；且

又因為，

故存在唯一使得，

因此有且僅有兩個零點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動場所，現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示，已知：米，米，擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路、和，要求點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊時上，且.

（1）設(shè)，試求的周長關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出此函數(shù)的定義域；

（2）經(jīng)核算，三條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為元，試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用.

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（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若是的唯一極值點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝,若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是(　　)

A. B.

C. D.

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【題目】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買每滿元的商品即可抽獎一次.抽獎規(guī)則如下：抽獎?wù)邤S各面標(biāo)有點(diǎn)數(shù)的正方體骰子次，若擲得點(diǎn)數(shù)大于，則可繼續(xù)在抽獎箱中抽獎；否則獲得三等獎，結(jié)束抽獎，已知抽獎箱中裝有個紅球與個白球，抽獎?wù)邚南渲腥我饷?/span>個球，若個球均為紅球，則獲得一等獎，若個球為個紅球和個白球，則獲得二等獎，否則，獲得三等獎（抽獎箱中的所有小球，除顏色外均相同）.

若，求顧客參加一次抽獎活動獲得三等獎的概率；

若一等獎可獲獎金元，二等獎可獲獎金元，三等獎可獲獎金元，記顧客一次抽獎所獲得的獎金為，若商場希望的數(shù)學(xué)期望不超過元，求的最小值.

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【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的零點(diǎn)個數(shù)；

（2）證明：，.

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【題目】已知定點(diǎn)、，直線、相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，記動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）已知定點(diǎn),，過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn) ，則直線與斜率之積是否為定值，若是求出定值；若不是請說明理由.

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【題目】設(shè)矩陣M＝ (其中a>0，b>0)．

(1)若a＝2，b＝3，求矩陣M的逆矩陣M－1；

(2)若曲線C：x2＋y2＝1在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′：＋y2＝1，求a，b的值．

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