Question

已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明．

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

 

Answer 1

(1)單調(diào)遞減函數(shù)；（2）；（3）當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)條件化簡(jiǎn)函數(shù)式，根據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性運(yùn)算法則，作出單調(diào)性判定，再用定義證明；（2）將題中所給不等式具體化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，通過(guò)參變分離化為，求出的最大值，則m的范圍就是m大于的最大值；（3）將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解.

試題解析：（1）當(dāng)，且時(shí)，是單調(diào)遞減的． 1分

證明：設(shè)，則

3分

又，所以，，

所以

所以，即，

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減的． 4分

（2）由得，

變形為，即

而，

當(dāng)即時(shí)，

所以． 9分

（3）由可得，變?yōu)?/span>

令

作的圖像及直線，由圖像可得：

當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)． 14分

考點(diǎn)：1.函數(shù)奇偶性的判定；2.不等式恒成立問(wèn)題；3.函數(shù)零點(diǎn)；4.數(shù)形結(jié)合思想.