如圖,已知直線L:數(shù)學(xué)公式的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線數(shù)學(xué)公式的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;
否則說明理由.
(文科生做)若數(shù)學(xué)公式為x軸上一點(diǎn),求證:數(shù)學(xué)公式

解:(1)易知b=?b2=3,
又F(1,0),c=1,∴a2=b2+c2=4.
所以橢圓C的方程為:=1.
(2)(理科生做)因?yàn)镕(1,0),k=(a2,0)
先探索,當(dāng)m=0時(shí),直線L⊥ox軸,則ABED為矩形,由對稱性知,AE與BD相交于FK中點(diǎn)N,且
猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)
證明:設(shè)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1),
當(dāng)m變化時(shí)首先AE過定點(diǎn)N.
?(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0.△4a2b2(a2+m2b2-1)>0,(因?yàn)閍>1)
且.y1+y2=- ①,y1•y2= ②.
因?yàn)镵AN=,KEN=,
所以kAN-KEN= ③,
把①②代入③整理得KAN-KEN=0.
∴KAN=KEN∴A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線
∴AE與BD相交于定點(diǎn)
(文科生做).直接求出直線AN和直線NE的斜率,利用上面的推導(dǎo)過程可以得到二者斜率相等,故A、N、E三點(diǎn)共線.即可得:
分析:(1)先由已知得b=以及c=1,即可求出橢圓C的方程;
(2)(理科生做)先讓m取0,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),再猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于此定點(diǎn)N.先利用斜率相等證明A、N、E三點(diǎn)共線同理可得B、N、D三點(diǎn)共線,即可證明結(jié)論.
(文科生做)直接求直線AN和直線NE的斜率,利用上面的過程得到二者斜率相等即可證明結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系以及直線和直線之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力,運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,數(shù)形結(jié)合思想以及特殊與一般思想.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知直線L:的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于

A、B兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線L交y軸于點(diǎn)M,且

當(dāng)m變化時(shí),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知直線L:數(shù)學(xué)公式的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線數(shù)學(xué)公式的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)若數(shù)學(xué)公式為x軸上一點(diǎn),求證:數(shù)學(xué)公式

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(1)若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;
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(1)若拋物線的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)若為x軸上一點(diǎn),求證:

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