Question

在直角坐標平面中，△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為A(-

7

7

，0)，B(

7

7

，0)，兩動點M，N滿足

MA

+

MB

+

MC

=

0

，|

NC

|=

7

|

NA

|=

7

|

NB

|，向量

MN

與

AB

共線．
（1）求△ABC的頂點C的軌跡方程；
（2）若過點P（0，1）的直線與（1）軌跡相交于E，F(xiàn)兩點，求

PE

•

PF

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設（x，y），由

MA

+

MB

+

MC

=0，知M（

x

3

，

y

3

）．由|

NA

|=|

NB

|且向量

MN

與

AB

共線，知N在邊AB的中垂線上，由此能求出△ABC的頂點C的軌跡方程．
（2）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），過點P（0，1）的直線方程為y=kx+1，代入x²-

y2

3

=1，得 （3-k²）x²-2kx-4=0（x≠±1）．再由根的判別式和韋達定理能求出

PE

•

PF

的取值范圍．

解答：解：（1）設（x，y），
∵

MA

+

MB

+

MC

=0，
∴M（

x

3

，

y

3

）．
又|

NA

|=|

NB

|且向量

MN

與

AB

共線，
∴N在邊AB的中垂線上，
∴N（0，

y

3

）．
而|

NC

|=

7

|

NA

|，
∴x²-

y2

3

=1（y≠0）．------（6分）
（2）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
過點P（0，1）的直線方程為y=kx+1，
代入x²-

y2

3

=1
得 （3-k²）x²-2kx-4=0（x≠±1）
∴△=4k²+16（3-k²）＞0，
k²＜4k∈(-2，2)(k≠±

3

，±1)．------------------------------（4分）
而x₁，x₂是方程的兩根，
∴x₁+x₂=

2k

3-k2

，x₁x₂=

-4

3-k2

．
∴

PE

•

PF

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）
=x₁x₂+kx₁•kx₂
=

-4(1+k2)

3-k2

--------（2分）
即

PE

•

PF

=4（1+

4

k2-3

） ∈(-∞，-4)∪(-4，-

4

3

]∪(20，+∞)
故

PE

•

PF

的取值范圍為(-∞，-4)∪(-4，-

4

3

]∪(20，+∞)---------------（4分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．