Question

如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，△ABF、△CDE是等邊三角形，CD=1，EF=BC=1，EF//BC，M為EF的中點(diǎn)．

(1)證明MO⊥平面ABCD
(2)求二面角E—CD—A的余弦值
(3)求點(diǎn)A到平面CDE的距離

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

（1）證明：取AB，CD的中點(diǎn)為P，Q。
連結(jié)PQ，EQ，F(xiàn)P。
則P，O，Q三點(diǎn)共線
且PQ//BC又因?yàn)镋F//BC所以有EF//PQ且FP=EQ。所以EFPQ為等腰梯形。
所以有MO^PQ，CD ^EQ
CD^PQ，PQÇCQ=Q
所以CD^平面EFPQ
所以CD^MO，又CD和PQ相交，
所以有MO^面ABCD¼
（2）由（1）可知ÐEQP為二面角E-CD-A的平面角
過E點(diǎn)作EN^PQ于點(diǎn)N，則N為OQ的中點(diǎn)。
cosÐEQP= 
（3）因?yàn)锳B//平面CDE
所以P點(diǎn)到平面CDE的距離等于A點(diǎn)到平面CDE的距離。過
點(diǎn)P作PH^EQ于點(diǎn)H，則PH^CD，又CD交EQ于Q。
所以PH^平面CDE。
所以PH的長(zhǎng)為點(diǎn)P到平面CDE的距離。
由cosÐEQP=得，
PH=PQsinÐEQP=