Question

已知{a_n}是等差數列，其前n項和為S_n，{b_n}是等比數列，且a₁＝b₁＝2，a₄＋b₄＝27，S₄－b₄＝10.

(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；

(2)記T_n＝a_nb₁＋a_n－1b₂＋…＋a₁b_n，n∈N^*，證明T_n＋12＝－2a_n＋10b_n(n∈N^*).

Answer 1

解：(1)設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q.由a₁＝b₁＝2，得a₄＝2＋3d，b₄＝2q³，S₄＝8＋6d.由條件，得方程組

所以a_n＝3n－1，b_n＝2ⁿ，n∈N^*.

(2)證明：由(1)得

T_n＝2a_n＋2²a_n－1＋2³a_n－2＋…＋2ⁿa₁，①

2T_n＝2²a_n＋2³a_n－1＋…＋2ⁿa₂＋2^n＋1a₁.②

由②－①，得

T_n＝－2(3n－1)＋3×2²＋3×2³＋…＋3×2ⁿ＋2^n＋2＝＋2^n＋2－6n＋2＝10×2ⁿ－6n－10.

而－2a_n＋10b_n－12＝－2(3n －1)＋10×2ⁿ－12＝10×2ⁿ－6n－10，

故T_n＋12＝－2a_n＋10b_n，n∈N^*.