Question

2．已知函數(shù)$f（x）=（{m+\frac{1}{m}}）lnx+\frac{1}{x}-x$，（其中常數(shù)m＞0）
（1）當(dāng)m=2時(shí)，求f（x）的極大值；
（2）試討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)，我們可以確定函數(shù)的單調(diào)性，這樣就可求f（x）的極大值；（2）求導(dǎo)數(shù)，再進(jìn)行類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（1）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=$\frac{5}{2}$lnx+$\frac{1}{x}$-x，
f′（x）=-$\frac{（x-2）（2x-1）}{{2x}^{2}}$（x＞0），
f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞2；
令f′（x）＞0，可得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）和（2，+∞）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，2）單調(diào)遞增             
故f（x）極大=f（2）=$\frac{5}{2}$ln2-$\frac{3}{2}$；
（2）f′（x）=-$\frac{（x-m）（x-\frac{1}{m}）}{{x}^{2}}$，x＞0，m＞0）
①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，則$\frac{1}{m}$＞1，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）時(shí)，f′（x）＞0
此時(shí)f（x）在（0，m）上單調(diào)遞減，在（m，1）單調(diào)遞增；           
②當(dāng)m=1時(shí)，則$\frac{1}{m}$=1，故x∈（0，1），有f′（x）=-$\frac{{（x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
此時(shí)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；                  
③當(dāng)m＞1時(shí)，則0＜$\frac{1}{m}$＜1，
故x∈（0，$\frac{1}{m}$）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（$\frac{1}{m}$，1）時(shí)，f′（x）＞0，
此時(shí)f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{m}$，1）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 用導(dǎo)數(shù)，我們可解決曲線的切線問題，函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，正確求導(dǎo)是我們解題的關(guān)鍵．