Question

如圖橢圓C的方程為，A是橢圓C的短軸左頂點(diǎn)，過A點(diǎn)作斜率為-1的直線交橢圓于B點(diǎn)，點(diǎn)P（1，0），且BP∥y軸，△APB的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在直線AB上求一點(diǎn)M，使得以橢圓C的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且過M的雙曲線E的實(shí)軸最長，并求此雙曲線E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)△APB的面積為，以及AB斜率為-1，求出A，B，P的坐標(biāo)，再把A，B坐標(biāo)代入橢圓C的方程，求出a，b的值即可．
（2）由（1）知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及在直線AB的方程，因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，找到||MF₁|-|MF₂|的范圍，求最值即可．
解答：解：（1），又∠PAB=45°，AP=PB，故AP=BP=3．
∵P（1，0），A（-2，0），B（1，-3）
∴b=2，將B（1，-3）代入橢圓得：得a²=12，
所求橢圓方程為．
（2）設(shè)橢圓C的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
則易知F₁（0，-）F₂（0，），
直線AB的方程為：x+y+2=0，因?yàn)镸在雙曲線E上，要雙曲線E的實(shí)軸最大，只須||MF₁|-|MF₂||最大，設(shè)F₁（0，-）關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為F₁'（-2，-2），則直線F₂F₁′與直線的交點(diǎn)為所求M，
因?yàn)镕₂F₁′的方程為：，聯(lián)立得M（1，-3）
又2a′=||MF₁|-|MF₂||=||MF₁'|-|MF₂||≤|F₂F₁'|
==2，故，
故所求雙曲線方程為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓，雙曲線的位置關(guān)系，做題時(shí)要細(xì)心．