Question

△ABC的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-a，0），（a，0）（a＞0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于k．
①若k=-1，則△ABC是直角三角形；
②若k=1，則△ABC是直角三角形；
③若k=-2，則△ABC是銳角三角形；
④若k=2，則△ABC是銳角三角形．
以上四個命題中正確命題的序號是______．

Answer 1

設(shè)C（x，y）由題意可得，

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

=k（y≠0）
由AC，BC的斜率存在可知A≠90°，B≠90°
①k=-1，可得x²+y²=a²，則∠C=

π

2

②k=1，可得x²-y²=1，而x²+y²=a²（y≠0）與x²-y²=1無公共點(diǎn)，即∠C≠

π

2

，A≠90°，B≠90°
③k=-2，可得

x2

a2

+

y2

2a2

=1，而x²+y²=a²（y≠0），則C在在

x2

a2

+

y2

2a2

=1上，同時在圓x²+y²=a²（y≠0）外，從而可得C＜90°，而K_AC•K_BC＜0可得直線AC的傾斜角為銳角，BC的傾斜角為鈍角，故可得B＜90°，A＜90°
④當(dāng)k=2時可得，

x2

a2

-

y2

2a2

=1，同②可得C≠90°，但由K_AC•K_BC＞0可得兩直線的傾斜角同時為銳角（或鈍角）從而可得A，B中有一個銳角一個鈍角
故答案為：①③