【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù),
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)求g(x)在[1,3]上的最大值和最小值.

【答案】
(1)解:∵f(x)=x3+ax2+bx(其中常數(shù)a,b∈R),

∴f′(x)=3x2+2ax+b,

∴g(x)=f(x)﹣f′(x)=x3+ax2+bx﹣3x2﹣2ax﹣b,

∵g(x)=f(x)﹣f′(x)是奇函數(shù),

∴a﹣3=0,b=0,

∴f(x)=x3+3x2


(2)解:∵f′(x)=3x2+6x,x∈[1,3]

∴g(x)=x3﹣6x,

∴g′(x)=3x2﹣6,

令g′(x)=3x2﹣6=0,解得x= ,

當(dāng)g′(x)>0時(shí),即 <x≤3,函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)g′(x)<0時(shí),即1≤x< ,函數(shù)單調(diào)遞減,

∴g(x)min=g( )=2 ﹣6 =﹣4

∵g(1)=1﹣6=﹣5,g(3)=27﹣18=9,

∴g(x)max=g(3)=9


【解析】(1)先求出導(dǎo)函數(shù),再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求出a,b的值,問(wèn)題得以解決,(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)在閉區(qū)間上的應(yīng)用,即可求出最值.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解在公共定義域內(nèi),偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù);奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù);奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù);偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù);一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性:一個(gè)為偶就為偶,兩個(gè)為奇才為奇;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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(2)若直線(xiàn) 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)( A,B 不是左右頂點(diǎn)),且以 AB 為直徑的圖過(guò)橢圓 C 的右頂點(diǎn).求證:直線(xiàn) l 過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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A.50
B.45
C.40
D.20

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