Question

（2012•佛山一模）已知圓C₁：（x-4）²+y²=1，圓C₂：x²+（y-2）²=1，動點(diǎn)P到圓C₁，C₂上點(diǎn)的距離的最小值相等．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）點(diǎn)P的軌跡上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到點(diǎn)A（-2

2

，0）的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B（2

2

，0）的距離的差為4，如果存在求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，如果不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用動點(diǎn)P到圓C₁，C₂上點(diǎn)的距離的最小值相等，建立方程，化簡可得點(diǎn)P的軌跡方程；       
（2）根據(jù)點(diǎn)Q到點(diǎn)A（-2

2

，0）的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B（2

2

，0）的距離的差為4，可得Q的方程，與直線l：y=2x-3聯(lián)立，利用判別式可得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），圓C₁：（x-4）²+y²=1的圓心坐標(biāo)為（4，0），圓C₂：x²+（y-2）²=1的圓心坐標(biāo)為（0，2）
∵動點(diǎn)P到圓C₁，C₂上點(diǎn)的距離的最小值相等
∴|PC₁|=|PC₂|
∴

(x-4)2+y2

=

x2+(y-2)2

化簡得：y=2x-3
因此點(diǎn)P的軌跡方程是y=2x-3；       
（2）假設(shè)這樣的Q點(diǎn)存在，因為點(diǎn)Q到點(diǎn)A（-2

2

，0）的距離減去點(diǎn)Q到點(diǎn)B（2

2

，0）的距離的差為4，
所以Q點(diǎn)在以A（-2

2

，0）和B（2

2

，0）為焦點(diǎn)，實軸長為4的雙曲線的右支上，
即Q點(diǎn)在曲線

x2

4

-

y2

4

=1(x≥2)上，
∵Q點(diǎn)在直線l：y=2x-3上
∴代入曲線方程可得3x²-12x+13=0
∴△=12²-4×3×13＜0，方程組無解，
所以點(diǎn)P的軌跡上不存在滿足條件的點(diǎn)Q．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．