【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時(shí)，求證：過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有一條；

（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)上任意一點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)過(guò)原點(diǎn)知有唯一解即可求證；

(2) 構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的關(guān)系即可求出a的范圍.

（1）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.

曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程為.

此切線過(guò)原點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，即.

當(dāng)，則方程有且只有一個(gè)解，

曲線在原點(diǎn)處的切線過(guò)原點(diǎn).

綜上所述，無(wú)論取什么值，過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線都有且只有一條，即直線.

（2）令，

則.

①若，則，故在上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，；

②若，則.

當(dāng)時(shí)，，.

令，則.

而當(dāng)時(shí)，，，于是：

若，則，故在上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而，

故在上單調(diào)遞增.

因此，當(dāng)時(shí)，；

若，則存在，使得.

當(dāng)時(shí)，，

，故在上單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)時(shí)，，進(jìn)而，

故在上單調(diào)遞減.

因此，當(dāng)時(shí)，.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市政府為減輕汽車尾氣對(duì)大氣的污染，保衛(wèi)藍(lán)天，鼓勵(lì)廣大市民使用電動(dòng)交通工具出行，決定為電動(dòng)車（含電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車）免費(fèi)提供電池檢測(cè)服務(wù).現(xiàn)從全市已掛牌照的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取100輛委托專業(yè)機(jī)構(gòu)免費(fèi)為它們進(jìn)行電池性能檢測(cè)，電池性能分為需要更換、尚能使用、較好、良好四個(gè)等級(jí)，并分成電動(dòng)自行車和電動(dòng)汽車兩個(gè)群體分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本分布如圖.

（1）采用分層抽樣的方法從電池性能較好的電動(dòng)車中隨機(jī)抽取9輛，再?gòu)倪@9輛中隨機(jī)抽取2輛，求至少有一輛為電動(dòng)汽車的概率；

（2）為進(jìn)一步提高市民對(duì)電動(dòng)車的使用熱情，市政府準(zhǔn)備為電動(dòng)車車主一次性發(fā)放補(bǔ)助，標(biāo)準(zhǔn)如下：①電動(dòng)自行車每輛補(bǔ)助300元；②電動(dòng)汽車每輛補(bǔ)助500元；③對(duì)電池需要更換的電動(dòng)車每輛額外補(bǔ)助400元.試求抽取的100輛電動(dòng)車執(zhí)行此方案的預(yù)算；并利用樣本估計(jì)總體，試估計(jì)市政府執(zhí)行此方案的預(yù)算.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨著2022年北京冬奧會(huì)的臨近，中國(guó)冰雪產(chǎn)業(yè)快速發(fā)展，冰雪運(yùn)動(dòng)人數(shù)快速上升，冰雪運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)需求得到釋放.如圖是2012-2018年中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)(單位:萬(wàn)人)與同比增長(zhǎng)情況統(tǒng)計(jì)圖.則下面結(jié)論中正確的是( )

①2012-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)逐年增加；②2013-2015年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)和同比增長(zhǎng)率均逐年增加；③中國(guó)雪場(chǎng)2015年比2014年增加的滑雪人數(shù)和2018年比2017年增加的滑雪人數(shù)均為220萬(wàn)人，因此這兩年的同比增長(zhǎng)率均有提高；④2016-2018年，中國(guó)雪場(chǎng)滑雪人數(shù)的增長(zhǎng)率約為23.4%.

A.①②③B.②③④C.①②D.③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，ab＞0.

（1）當(dāng)a＝1，b＝1時(shí)，求不等式f（x）＜3的解集；

（2）若f（x）的最小值為2，求的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年，全國(guó)各地區(qū)堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)工作總基調(diào)，經(jīng)濟(jì)運(yùn)行總體平穩(wěn)，發(fā)展水平邁上新臺(tái)階，發(fā)展質(zhì)量穩(wěn)步上升，人民生活福祉持續(xù)增進(jìn)，全年最終消費(fèi)支出對(duì)國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)的貢獻(xiàn)率為57.8%.下圖為2019年居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度：（同比(本期數(shù)-去年同期數(shù))/去年同期數(shù)，環(huán)比(本期數(shù)-上期數(shù))/上期數(shù)

下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A.2019年第三季度的居民消費(fèi)價(jià)格一直都在增長(zhǎng)

B.2018年7月份的居民消費(fèi)價(jià)格比同年8月份要低一些

C.2019年全年居民消費(fèi)價(jià)格比2018年漲了2.5%以上

D.2019年3月份的居民消費(fèi)價(jià)格全年最低

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表：

黃赤交角

正切值

0.439

0.444

0.450

0.455

0.461

年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是( )

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某中學(xué)長(zhǎng)期堅(jiān)持貫徹以人為本，因材施教的教育理念，每年都會(huì)在校文化節(jié)期間舉行“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”和“語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試”兩項(xiàng)測(cè)試，以給學(xué)生課外興趣學(xué)習(xí)及輔導(dǎo)提供參考依據(jù)．成績(jī)分為，，，，五個(gè)等級(jí)（等級(jí)，，，，分別對(duì)應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分）．某班學(xué)生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“語(yǔ)文素養(yǎng)能力測(cè)試”科目的成績(jī)?yōu)?/span>的考生有3人．

（1）求該班“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”的科目平均分以及“數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力測(cè)試”科目成績(jī)?yōu)?/span>的人數(shù)；

（2）若該班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．從這9人中隨機(jī)抽取三人，設(shè)三人的成績(jī)之和為，求．

（3）從該班得分大于7分的9人中選3人即甲，乙，丙組隊(duì)參加學(xué)校內(nèi)的“數(shù)學(xué)限時(shí)解題挑戰(zhàn)賽”．規(guī)則為：每隊(duì)首先派一名隊(duì)員參加挑戰(zhàn)賽，在限定的時(shí)間，若該生解決問(wèn)題，即團(tuán)隊(duì)挑戰(zhàn)成功，結(jié)束挑戰(zhàn)；若解決問(wèn)題失敗，則派另外一名隊(duì)員上去挑戰(zhàn)，直至派完隊(duì)員為止．通過(guò)訓(xùn)練，已知甲，乙，丙通過(guò)挑戰(zhàn)賽的概率分別是，，，問(wèn)以怎樣的先后順序派出隊(duì)員，可使得派出隊(duì)員數(shù)目的均值達(dá)到最�。浚ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)果）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)做的垂線交橢圓于點(diǎn)，.

（1）證明：線段平分線段（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（2）當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＝x，若在區(qū)間（﹣1，1]內(nèi)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊(cè)答案