Question

5．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4=0（k＞0）上一動(dòng)點(diǎn)，PA是圓C：x²+y²-3y=0的一條切線，A為切點(diǎn)，若PA長(zhǎng)度的最小值為2，則k的值為（　�。�

• A． 3
• B． $\frac{4\sqrt{6}}{5}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小”，最后利用點(diǎn)到直線的距離求出直線的斜率即可．

解答 解：∵圓的方程為：x²+（y-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，
∴圓心C（0，$\frac{3}{2}$），半徑r=$\frac{3}{2}$．
根據(jù)題意，當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線l的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最�。�切線長(zhǎng)為2，
∴PA=PB═2，
∴圓心到直線l的距離為d=$\sqrt{4+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{2}$．
∵直線kx+y+4=0，
∴$\frac{|0+\frac{3}{2}+4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{5}{2}$，解得k=±$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
∵k＞0，∴所求直線的斜率為$\frac{4\sqrt{6}}{5}$．
故選B

點(diǎn)評(píng) 本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關(guān)鍵是“圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長(zhǎng)PA，PB最小”屬于中檔題．