Question

1．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=1，F(xiàn)是焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（-2，0）的直線與拋物線交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)，直線PF，QF分別交拋物線于點(diǎn)M，N．
（1）求拋物線的方程及y₁y₂的值；
（2）記直線PQ，MN的斜率分別為k₁，k₂，證明：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$為定值．

Answer 1

分析 （1）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=1，可得拋物線的方程；依題意，設(shè)直線AB的方程為x=my-2，與拋物線方程聯(lián)立消x得關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求得y₁y₂；
（2）設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），設(shè)直線AM的方程為x=ny-1，將其代入y²=-4x，消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，從而得y₁y₃=-4，同理可得 y₂y₄=-4，根據(jù)斜率公式可把$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$表示成關(guān)于y₁與y₂的表達(dá)式，再借助（1）的結(jié)果即可證明．

解答 （1）解：拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=1，∴拋物線的方程為y²=-4x，
設(shè)PQ的方程為x=my-2，代入y²=-4x，可得y²+4my-8=0
∴y₁y₂=-8；
（2）證明：設(shè)M（x₃，y₃），N（x₄，y₄）．
則$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{x}_{3}-{x}_{4}}{{y}_{3}-{y}_{4}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
設(shè)直線PM的方程為x=ny-1（n≠0），將其代入y²=-4x，消去x，
整理得 y²+4ny-4=0
∴y₁y₃=-4．
 同理可得 y₂y₄=-4．            
故$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}•\frac{{x}_{3}-{x}_{4}}{{y}_{3}-{y}_{4}}$=$\frac{{y}_{3}+{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{4}{{y}_{1}{y}_{2}}$．
由（1）知，y₁y₂=-8，
∴$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{1}{2}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，難度較大．