Question

15．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$），則函數(shù)y=f（x）-log₄|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 f（x）是個(gè)周期為2的周期函數(shù)，且是個(gè)奇函數(shù)，在一個(gè)周期（-1，1）上，y=-sin$\frac{π}{2}$x，-1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的圖象；y=log₄|x|是個(gè)偶函數(shù)，圖象過(guò)（1，0），和（4，1），結(jié)合圖象可得函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₄|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而得到函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：由題意知，函數(shù)y=f（x）是個(gè)周期為2的周期函數(shù)，且是個(gè)奇函數(shù)，在一個(gè)周期（-1，1）上，y=-sin$\frac{π}{2}$x，-1＜f（x）＜1，同理得到在其他周期上的圖象．
函數(shù)y=log₄|x|是個(gè)偶函數(shù)，先看他們?cè)赱0，+∞）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則它們總的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是在[0，+∞）上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的2倍，在（0，+∞）上，y=log₄|x|=log₄x，圖象過(guò)（1，0），和（4，1），是單調(diào)增函數(shù)，與f（x）交與3個(gè)不同點(diǎn)，∴函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log₄|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是6個(gè)．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、函數(shù)圖象的對(duì)稱性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，其中根據(jù)已知條件分析函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而判斷出函數(shù)零點(diǎn)的分布情況是解答本題的關(guān)鍵．