Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上，不在軸上的動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且四邊形的周長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上有兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，線段MN的中點(diǎn)為G，已知點(diǎn)在圓上，求的最大值，并判斷此時(shí)ΔOMN的形狀.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，ΔOMN是直角三角形

【解析】

（1）題中先求得的坐標(biāo)，即，可利用離心率和點(diǎn)在橢圓上　結(jié)合解得，動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，且四邊形的周長(zhǎng)為.可得點(diǎn)軌跡是橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)已知，焦距已知，只要再求得短半軸長(zhǎng)即得，注意方程中；

（2）由用點(diǎn)都在橢圓上可求得，用兩點(diǎn)間距離公式表示出，代入和，并利用基本不等式可求得最大值．根據(jù)取得最大值時(shí)的條件得是直角三角形．

（1）設(shè)點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，

由已知可知，又，所以可得，則，

連接PQ，因?yàn)?/span>，OP=OQ，所以四邊形為平行四邊形.

因?yàn)樗倪呅?/span>的周長(zhǎng)為，所以，

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)，分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（除去左、右頂點(diǎn)），可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

（2）因?yàn)?/span>，，，所以，

所以

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最大值為，此時(shí)，即，即是直角三角形．