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已知a，b＞0，且a+b=1，求證：
（Ⅰ）
1
a2
+
1
b2
≥8；
（Ⅱ）
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8．
分析：（Ⅰ）利用a+b=1，通過重要不等式以及基本不等式，推出
1
ab
≥4，然后證明
1
a2
+
1
b2
≥8；
（Ⅱ）利用a+b=1，利用1的代換，轉化
1
a
+
1
b
+
1
ab
為
1
a
+
1
b
，利用基本不等式即可求證結果．
解答：證明：（Ⅰ）∵ab≤（
a+b
2
）2=
1
4
，當且僅當a=b時等號成立，
∵a+b=1，a=b=
1
2
，∴
1
ab
≥4．
∵
1
a2
+
1
b2
≥
2
ab
≥8，當且僅當a=b=
1
2
時等號成立，
∴
1
a2
+
1
b2
≥8．（5分）
（Ⅱ）∵
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
1
a
+
1
b
+
a+b
ab

=
1
a
+
1
b
+
1
a
+
1
b

=2（a+b）（
1
a
+
1
b
）
=4+2（
b
a
+
a
b
）
≥4+4
b
a
•
a
b

=8，當且僅當a=b=
1
2
時等號成立，
∴
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8．（10分）
點評：利用基本不等式以及重要不等式以及“1”的代換，注意“正、定、等”的應用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（文）已知a，b為常數，且a≠0，函數f（x）=-ax+b+axlnx，f（e）=2（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（1）求實數b的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）當a=1時，求函數y=f(x)(x∈[
1e
，e])的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•宣威市模擬）已知a＜b＜0，奇函數f（x）的定義域為[a，-a]，在區(qū)間[-b，-a]上單調遞減且f（x）＞0，則在區(qū)間[a，b]上（　�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a，b＞0，且
1
a
+
1
b
≤4，（a-b）2=16（ab）3，則a+b的值等于
2
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知雙曲線C的中心在原點，D（1，0）是它的一個頂點，
d
=(1，
2
)是它的一條漸近線的一個方向向量．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點（-3，0）任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點 （A，B都不同于點D），求
DA
•
DB
的值；
（3）對于雙曲線Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E為它的右頂點，M，N為雙曲線Γ上的兩點（M，N都不同于點E），且EM⊥EN，求證：直線MN與x軸的交點是一個定點．

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