分析 (1)由題意可知:橢圓焦點(diǎn)在x軸上,將點(diǎn)(1,$\frac{3}{2}$)代入橢圓方程$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,由$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$,c2=a2-b2,聯(lián)立即可求得a和b的值,即可求得橢圓E的方程;
(2)圓心(0,0)到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$,所以|MN|=$2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$,將直線方程方程代入橢圓方程,由韋達(dá)定理及弦長公式可知:丨CD丨=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}\sqrt{21-3{m^2}}$,由$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}=\frac{36}{7}$得$\sqrt{7}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{21-3{m^2}}}}{7}=\frac{36}{7}×2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$,整理即可求得m的值.
解答 解:(1)橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)焦點(diǎn)在x軸上,
∵橢圓E過點(diǎn)$({1,\frac{3}{2}})$,
∴將點(diǎn)(1,$\frac{3}{2}$),代入橢圓方程得$\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1$,①
由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{7}}}{2}|{F_1}{F_2}|$,
∴$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{7}}}{2}•2c$,即a2+b2=7c2②
又∵c2=a2-b2③,
將①②③聯(lián)立得$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$,
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$;…(5分)
(2)根據(jù)題意,以F1、F2為直徑的圓方程為x2+y2=1,
所以圓心(0,0)到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$,所以|MN|=$2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$,…(7分)
設(shè)C(x1,y1),D(x1,y1),聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{y=-x+m}\\{\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1}\end{array}}\right.$,
化簡得7x2-8mx+4m2-12=0,△=48(7-m2)>0,
${x_1}+{x_2}=\frac{8m}{7}$,${x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{7}$…(9分)
由丨CD丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$,
∴$|CD|=\sqrt{2}•\sqrt{{{(\frac{8m}{7})}^2}-4×\frac{{4{m^2}-12}}{7}}$=$\frac{{4\sqrt{2}}}{7}\sqrt{21-3{m^2}}$,…(10分)
由$\frac{{\sqrt{7}|CD|}}{|MN|}=\frac{36}{7}$得$\sqrt{7}×4\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{21-3{m^2}}}}{7}=\frac{36}{7}×2\sqrt{1-\frac{m^2}{2}}$,
整理得${m^2}=\frac{1}{4}$,即$m=±\frac{1}{2}$,
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)$m=±\frac{1}{2}$時(shí),△=112(7-m2)>0成立,
∴$m=±\frac{1}{2}$.…(12分)
點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理,弦長公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{113}}{2}$ | B. | 5 | C. | $\sqrt{41}$ | D. | 25 |
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