在平面直角坐標(biāo)系中,矩形紙片ABCD的長為4,寬為2.AB,AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上,點A與坐標(biāo)原點重合.將矩形紙片沿直線折疊,使點A落在邊CD上,記為點A',如圖所示.
(1)設(shè)A'的坐標(biāo)是(2a,2)(0≤a≤2),寫出折痕所在直線的方程;
(2)若折痕經(jīng)過B時,求折痕所在直線的斜率,并寫出以折痕為直徑的圓方程.

【答案】分析:(1)當(dāng)a=0時,其折痕為線段OD的垂直平分線,由D和O的坐標(biāo)求出線段OD的中點縱坐標(biāo),得到過中點且與y軸垂直的直線方程即為折痕所在的直線方程;當(dāng)0<a≤2時,根據(jù)對稱性質(zhì)得到線段A'A的中點在折痕上,且折痕與直線A'A垂直,由A和A'的坐標(biāo)求出線段A'A的中點坐標(biāo),及直線A'A的斜率,根據(jù)兩直線垂直時斜率的乘積為-1求出折痕所在直線的斜率,由求出的中點坐標(biāo)和斜率寫出折痕所在的直線方程即可;
(2)把B的坐標(biāo)代入(1)求出的折痕方程得到關(guān)于a的一元二次方程,求出方程的解得到a的值,進而得到折痕的斜率,進而確定出折痕所在直線的方程,求出折痕與y軸交點M的坐標(biāo),再利用中點坐標(biāo)公式求出折痕中點N的坐標(biāo),即為圓心的坐標(biāo),由兩點間的距離公式求出|MB|的長,即為圓的半徑,由求出的圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時,則“拆痕”所在的直線為線段AD的中垂線,它的方程為y=1.
當(dāng)0<a≤2時,則線段A'A的中點E是(a,1),直線A'A的斜率kA'A=,
從而折痕所在直線的斜率k=-a,
此時折痕所在直線的方程為ax+y-1-a2=0;
(2)若折痕經(jīng)過B時,由a2-4a+1=0,
解得a=2+(舍去),或a=2-,
所以折痕所在直線的斜率為-2.
此時折痕與y軸的交點M的坐標(biāo)為(0,8-4),折痕中點N的坐標(biāo)為(2,4-2),
則MB2=42+(8-42=16(8-4).
所以折痕為直徑的圓方程為(x-2)2+(y-4+22=32-16
點評:此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,中點坐標(biāo)公式,兩點間的距離公式,兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系,直線的一般式方程,以及兩直線的交點坐標(biāo),其中第一問熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,第二問根據(jù)題意求出M和N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為:pcos(θ-
π3
)=1
,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點,則MN的中點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,A(3,0)、B(0,3)、C(cosθ,sinθ),θ∈(
π
2
,
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

(1)求角θ的值;
(2)設(shè)α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,如果x與y都是整數(shù),就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點
②如果k與b都是無理數(shù),則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點
③直線l經(jīng)過無窮多個整點,當(dāng)且僅當(dāng)l經(jīng)過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數(shù)
⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,下列函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱的是( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系中,以點(1,0)為圓心,r為半徑作圓,依次與拋物線y2=x交于A、B、C、D四點,若AC與BD的交點F恰好為拋物線的焦點,則r=
 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案