【題目】對(duì)于定義在上的函數(shù),如果存在兩條平行直線與,使得對(duì)于任意,都有恒成立,那么稱函數(shù)是帶狀函數(shù),若,之間的最小距離存在,則稱為帶寬.
(1)判斷函數(shù)是不是帶狀函數(shù)?如果是,指出帶寬(不用證明);如果不是,說(shuō)明理由;
(2)求證:函數(shù)()是帶狀函數(shù);
(3)求證:函數(shù)()為帶狀函數(shù)的充要條件是.
【答案】(1)是,帶寬;(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)先理解帶狀函數(shù)的特征,再求函數(shù)的值域即可得解;
(2)由函數(shù),()的圖像表示雙曲線 在第一象限的部分,
再結(jié)合雙曲線的漸近線即可找出兩平行直線;
(3)由分段函數(shù)的圖像特征,結(jié)合帶狀函數(shù)的定義,分別證明充分性及必要性即可.
解:(1)因?yàn)?/span>,所以,
取直線 ,則恒成立,
即函數(shù)是帶狀函數(shù),帶寬為;
(2)因?yàn)?/span>,()表示雙曲線 在第一象限的部分,又雙曲線的漸近線方程為,故函數(shù)滿足,則函數(shù)為有一個(gè)寬帶為的帶狀函數(shù);
(3)函數(shù) ,
先證充分性,當(dāng)時(shí),,
不妨設(shè) ,則,即存在直線,,滿足題意,即函數(shù)為帶狀函數(shù),
再證必要性,當(dāng)函數(shù)()為帶狀函數(shù),
則存在,又,當(dāng),則直線與兩直線,中至少一條相交,故不滿足,即不滿足題意,即,
故函數(shù)()為帶狀函數(shù)的充要條件是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,其中,且,延長(zhǎng)線段到點(diǎn),使得,.
(1)求證:是直角;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某旅游勝地欲開(kāi)發(fā)一座景觀山,從山的側(cè)面進(jìn)行勘測(cè),迎面山坡線由同一平面的兩段拋物線組成,其中所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開(kāi)口向下,所在的拋物線以為頂點(diǎn)、開(kāi)口向上,以過(guò)山腳(點(diǎn))的水平線為軸,過(guò)山頂(點(diǎn))的鉛垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖(單位:百米).已知所在拋物線的解析式,所在拋物線的解析式為
(1)求值,并寫(xiě)出山坡線的函數(shù)解析式;
(2)在山坡上的700米高度(點(diǎn))處恰好有一小塊平地,可以用來(lái)建造索道站,索道的起點(diǎn)選擇在山腳水平線上的點(diǎn)處,(米),假設(shè)索道可近似地看成一段以為頂點(diǎn)、開(kāi)口向上的拋物線當(dāng)索道在上方時(shí),索道的懸空高度有最大值,試求索道的最大懸空高度;
(3)為了便于旅游觀景,擬從山頂開(kāi)始、沿迎面山坡往山下鋪設(shè)觀景臺(tái)階,臺(tái)階每級(jí)的高度為20厘米,長(zhǎng)度因坡度的大小而定,但不得少于20厘米,每級(jí)臺(tái)階的兩端點(diǎn)在坡面上(見(jiàn)圖).試求出前三級(jí)臺(tái)階的長(zhǎng)度(精確到厘米),并判斷這種臺(tái)階能否一直鋪到山腳,簡(jiǎn)述理由?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是某斜拉式大橋圖片,為了了解橋的一些結(jié)構(gòu)情況,學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組將大橋的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了簡(jiǎn)化,取其部分可抽象成圖2所示的模型,其中橋塔、與橋面垂直,通過(guò)測(cè)量得知,,當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),.
(1)求的長(zhǎng);
(2)試問(wèn)在線段的何處時(shí),達(dá)到最大.
圖1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,一藝術(shù)拱門由兩部分組成,下部為矩形的長(zhǎng)分別為米和米,上部是圓心為的劣弧,
(1)求圖1中拱門最高點(diǎn)到地面的距離:
(2)現(xiàn)欲以點(diǎn)為支點(diǎn)將拱門放倒,放倒過(guò)程中矩形所在的平面始終與地面垂直,如圖2、圖3、圖4所示,設(shè)與地面水平線所成的角為.若拱門上的點(diǎn)到地面的最大距離恰好為到地面的距離,試求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】記無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中最大值為,最小值為,令
(Ⅰ)若,請(qǐng)寫(xiě)出的值;
(Ⅱ)求證:“數(shù)列是等差數(shù)列”是“數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件;
(Ⅲ)若 ,求證:存在,使得,有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)恒成立,則稱數(shù)列是數(shù)列,若正數(shù)項(xiàng)數(shù)列,滿足:對(duì)任意正整數(shù)恒成立,則稱是數(shù)列;
(1)已知正數(shù)項(xiàng)數(shù)列是數(shù)列,且前五項(xiàng)分別為、、、、,求的值;
(2)若為常數(shù),且是數(shù)列,求的最小值;
(3)對(duì)于下列兩種情形,只要選作一種,滿分分別是 ①分,②分,若選擇了多于一種情形,則按照序號(hào)較小的解答記分.
① 證明:數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件為“既是數(shù)列,又是數(shù)列”;
②證明:正數(shù)項(xiàng)數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件為“數(shù)列既是數(shù)列,又是數(shù)列”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:若函數(shù)對(duì)任意的,都有成立,則稱為上的“淡泊”函數(shù).
(1)判斷是否為上的“淡泊”函數(shù),說(shuō)明理由;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使為上的“淡泊”函數(shù),若存在,求出的取值范圍;不存在,說(shuō)明理由;
(3)設(shè)是上的“淡泊”函數(shù)(其中不是常值函數(shù)),且,若對(duì)任意的,都有成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線.點(diǎn)A,拋物線上的點(diǎn)P(x,y),過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q
(I)求直線AP斜率的取值范圍;
(II)求的最大值
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