Question

1．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，2CD=AB=AD，$3\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}$，F(xiàn)在AE上，若$\overrightarrow{BF}⊥\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$，則x+y=-$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 不妨以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，表示各個點的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的垂直得到F點坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運算即可求出x，y的值．

解答 解：由題意直角梯形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，
不妨以A為原點，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，
∵2CD=AB=AD，
不妨設(shè)2CD=AB=AD=2，
∵$3\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}$，
∴A（0，0），B（2，0），D（0，2），E（$\frac{1}{3}$，2），
則直線AE的方程為y=6x，
設(shè)F（x₀，$\frac{1}{6}$x₀），
∴$\overrightarrow{BF}$=（x₀-2，$\frac{1}{6}$x₀），
∵$\overrightarrow{BF}⊥\overrightarrow{AE}$，
∴$\frac{1}{3}$（x₀-2）+$\frac{1}{6}$x₀=0，
∴x₀=$\frac{3}{4}$
∴$\overrightarrow{BF}$=（-$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{8}$），
∵$\overrightarrow{BF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}$=x（2，0）+y（0，2）=（2x，2y），
∴2x=-$\frac{5}{4}$，2y=$\frac{1}{8}$，
∴x=-$\frac{5}{8}$，y=$\frac{1}{16}$，
∴x+y=-$\frac{9}{16}$，
故答案為：-$\frac{9}{16}$

點評 本題考查了向量的坐標(biāo)表示，以及向量的垂直，關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，屬于中檔題