Question

如圖所示的三個圖中，左邊的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖．另外兩個是它的正視圖和左視圖（單位：cm）

（Ⅰ）按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
（Ⅱ）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；
（Ⅲ）在所給直觀圖中連結BC′，證明：BC′∥面EFG．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,由三視圖求面積、體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件按三視圖的要求能畫出該多面體的俯視圖．
（Ⅱ）所求多面體體積V=V_長方體-V_正三棱錐，由此能求出結果．
（Ⅲ）連結AD'，則AD'∥BC'，AD'∥EG，從而EG∥BC'．由此能證明BC'∥面EFG．

解答： 解：（Ⅰ）如圖，畫出該多面體的俯視圖如下：

（Ⅱ）所求多面體體積：
V=V_長方體-V_正三棱錐=4×4×6-

1

3

×(

1

2

×2×2)×2=

284

3

(cm2)．
（Ⅲ）證明：在長方體ABCD-A'B'C'D'中，
連結AD'，則AD'∥BC'．
因為E，G分別為AA'，A'D'中點，
所以AD'∥EG，
從而EG∥BC'．又BC'?平面EFG，
所以BC'∥面EFG．

點評：本題考查幾何體的俯視圖的作法，考查多面體的體積的求法，考查直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．