【題目】設圓的圓心為，直線過點且與軸不重合，直線交圓于，兩點，過點作的平行線交于點.

（1）證明為定值，并寫出點的軌跡方程；

（2）設點的軌跡為曲線，直線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與圓交于，兩點，求四邊形面積的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析，（2）

【解析】

（1）由，，故，所以，得到，化簡得，利用橢圓的定義，即可求解；

（2）設的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，結合弦長公式和三角形的面積公式，即可求解．

（1）因為，，故，

所以，故，

又圓的標準方程為，

從而，所以，

由題設得，，，

由橢圓定義可得點的軌跡方程為.

（2）當與軸不垂直時，設的方程為，，，

由得，

則，，

所以，

過點且與垂直的直線，到的距離為，

所以，

故四邊形的面積，

可得當與軸不垂直時，四邊形面積的取值范圍為，

當與軸垂直時，其方程為，，四邊形的面積為，

綜上，四邊形面積的取值范圍為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， 平面， ， ， ， 分別是， 的中點.

（1）證明： ；

（2）設為線段上的動點，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）證明線線垂直則需證明線面垂直，根據題意易得，然后根據等邊三角形的性質可得，又，因此得平面，從而得證（2）先找到EH什么時候最短，顯然當線段長的最小時， ，在中， ， ， ，∴，由中， ， ，∴.然后建立空間直角坐標系，寫出兩個面法向量再根據向量的夾角公式即可得余弦值

解析：（1）證明：∵四邊形為菱形， ，

∴為正三角形.又為的中點，∴.

又，因此.

∵平面， 平面，∴.

而平面， 平面且，

∴平面.又平面，∴.

（2）如圖， 為上任意一點，連接， .

當線段長的最小時， ，由（1）知，

∴平面， 平面，故.

在中， ， ， ，

∴，

由中， ， ，∴.

由（1）知， ， 兩兩垂直，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又， 分別是， 的中點，

可得， ， ， ，

， ， ，

所以， .

設平面的一法向量為，

則因此，

取，則，

因為， ， ，所以平面，

故為平面的一法向量.又，

所以 .

易得二面角為銳角，故所求二面角的余弦值為.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】【2018湖北七市（州）教研協(xié)作體3月高三聯(lián)考】已知橢圓： 的左頂點為，上頂點為，直線與直線垂直，垂足為點，且點是線段的中點．

（I）求橢圓的方程；

（II）如圖，若直線： 與橢圓交于， 兩點，點在橢圓上，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】解關于的不等式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知圓，點P是直線上的一動點，過點P作圓M的切線PA，PB，切點為A，B．

（1）當切線PA的長度為時，求點P的坐標；

（2）若的外接圓為圓N，試問：當P運動時，圓N是否過定點？若存在，求出所有的定點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）求線段AB長度的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，過點且不垂直于軸直線與橢圓相交于、兩點。

（1）求橢圓的方程；

（2）若點關于軸的對稱點是點，證明：直線與軸相交于定點。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足,.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3）設數(shù)列滿足,其中.記的前項和為.是否存在正整數(shù),使得成立？若存在,請求出所有滿足條件的；若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，且，為中點.

（Ⅰ）求證：平面； 　

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得點到平

面的距離為？若存在，確定點的位置；

若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】根據某鎮(zhèn)家庭抽樣調查的統(tǒng)計,2003年每戶家庭平均消費支出總額為1萬元,其中食品消費額為0.6萬元.預測2003年后,每戶家庭平均消費支出總額每年增加3000元,如果到2005年該鎮(zhèn)居民生活狀況能達到小康水平(即恩格爾系數(shù)n滿足),則這個鎮(zhèn)每戶食品消費額平均每年的增長率至多是多少(精確到0.1%)?

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知集合M是具有下列性質的函數(shù)的全體:存在實數(shù)對,使得對定義域內任意實數(shù)x都成立.

（1）判斷函數(shù),是否屬于集合;

（2）若函數(shù)具有反函數(shù),是否存在相同的實數(shù)對,使得與同時屬于集合若存在,求出相應的;若不存在,說明理由;

（3）若定義域為的函數(shù)屬于集合,且存在滿足有序實數(shù)對和;當時,的值域為,求當時函數(shù)的值域.

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