Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n.已知a_n+1=2S_n+2()
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在a_n與a_n+1之間插入n個(gè)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為d_n的等差數(shù)列，
①在數(shù)列{d_n}中是否存在三項(xiàng)d_m，d_k，d_p（其中m,k,p成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)，若不存在，說明理由；
②求證：.

Answer 1

（1）   （2）見解析

解析試題分析：
（1）利用S_n與a_n之間的關(guān)系,即可得到關(guān)于a_n+1,a_n的遞推式，證明a_n為等比數(shù)列，且可以知道公比，當(dāng)n=1時(shí)，可以得到a₁與a₂之間的關(guān)系，在根據(jù)a_n等比數(shù)列，可以消掉a₂得到首項(xiàng)的值，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式.
（2）根據(jù)等差數(shù)列公差與項(xiàng)之間的關(guān)系(),可以得到，帶入a_n得到d_n的通項(xiàng)公式.
①假設(shè)存在，d_m，d_k，d_p成等比數(shù)列，可以得到關(guān)于他們的等比中項(xiàng)式子，把d_n的通項(xiàng)公式帶入計(jì)算可以得到，則m,k,p既成等差數(shù)列也是等比數(shù)列，所以三者相等，與數(shù)列{d_n}中是否存在三項(xiàng)d_m，d_k，d_p(不相等)矛盾,所以是不存在的.
②利用(2)所得求出的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減可以求得,利用不等式的性質(zhì)即可得到證明原式.
試題解析：
（1）由,
可得：,
兩式相減：.        2分
又,
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，故.
所以.        4分
（2）由（1）可知，
因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/47/e/1grvt3.png" style="vertical-align:middle;" />，故：.        6分
①假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，
則：，即：,
（*）      8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/70/4/mgvt52.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列，所以,
（*）可以化簡為，故，這與題設(shè)矛盾.
所以在數(shù)列中不存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.10分
②令，
,
      11分
兩式相減：
      13分
.      14分
考點(diǎn)：等比數(shù)列錯(cuò)位相減法不等式等差等比中項(xiàng)