Question

19．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K，過點(diǎn)K作圓（x-5）²+y²=9的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，|MN|=3$\sqrt{3}$
（1）求拋物線E的方程；
（2）設(shè)A，B是拋物線E上分別位于x軸兩側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{9}{4}$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
①求證：直線AB必過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
②過點(diǎn)Q作AB的垂線與拋物線交于G，D兩點(diǎn)，求四邊形AGBD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得K的坐標(biāo)，圓的圓心和半徑，運(yùn)用對稱性可得MR的長，由勾股定理和銳角的三角函數(shù)，可得CK=6，再由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得p=2，進(jìn)而得到拋物線方程；
（2）①設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，化簡整理，即可得到定點(diǎn)Q；
②運(yùn)用弦長公式和四邊形的面積公式，換元整理，結(jié)合基本不等式，即可求得最小值．

解答 （1）解：由已知可得K（-$\frac{p}{2}$，0），圓C：（x-5）²+y²=9的圓心C（5，0），半徑r=3．
設(shè)MN與x軸交于R，由圓的對稱性可得|MR|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
于是|CR|=$\frac{3}{2}$，
即有|CK|=$\frac{|MC|}{sin∠MKC}=\frac{|MC|}{sin∠CMR}$=6，
即有5+$\frac{p}{2}$=6，解得p=2，則拋物線E的方程為y²=4x；
（2）①證明：設(shè)直線AB：x=my+t，A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
聯(lián)立拋物線方程可得y2-4my-4t=0，
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t，
$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\frac{9}{4}$，即有$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$+y₁y₂=$\frac{9}{4}$，
解得y₁y₂=-18或2（舍去），
即-4t=-18，解得t=$\frac{9}{2}$．
則有AB恒過定點(diǎn)Q（$\frac{9}{2}$，0）；
②解：由①可得|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₂-y₁|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{16{m}^{2}+72}$，
同理|GD|=$\sqrt{1+\frac{1}{{m}^{2}}}•\sqrt{\frac{16}{{m}^{2}}+72}$，
則四邊形AGBD面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•|GD|=4$\sqrt{[（2+（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）][85+18（{m}^{2}+\frac{1}{{m}^{2}}）]}$，
令m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$=μ（μ≥2），則S=4$\sqrt{18{μ}^{2}+121μ+170}$是關(guān)于μ的增函數(shù)，
則當(dāng)μ=2時(shí)，S取得最小值，且為88．
當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時(shí)，四邊形AGBD面積的最小值為88．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，具有一定的運(yùn)算量，屬于中檔題．