Question

已知圓C：x²+y²=4，點(diǎn)D（4，0），坐標(biāo)原點(diǎn)為O．圓C上任意一點(diǎn)A在X軸上的影射為點(diǎn)B已知向量=t+（1-t）（t∈R，t≠0）
（1）求動點(diǎn)Q的軌跡E的方程
（2）當(dāng)t=時，設(shè)動點(diǎn)Q關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PD交軌跡E于點(diǎn)R （異于P點(diǎn)），試問：直線QR與X軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是定點(diǎn)，求出其坐標(biāo)；若不是定點(diǎn)，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)設(shè)Q（x，y），A（x，y）B（x，0）代入得到所以動點(diǎn)Q的軌跡E的方程為．
（2）設(shè)直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁），直線RQ的方程為
令y=0將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4），代入整理得x=1，即直線QR過定點(diǎn)（1，0）．驗證當(dāng)k=0時也成立．
解答：解：（1）設(shè)Q（x，y），A（x，y），則B（x，0）．
∵
∴（x，y）=t（x，y）+（1-t）（x，0）
∴
∵
即軌跡E的方程為
（2）當(dāng)t=時，軌跡E為橢圓，方程為…①
設(shè)直線PD的方程為y=k（x-4）．代入①，并整理得
（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0…②
由題意得，必有△＞0，故方程②有兩個不等實根．
設(shè)點(diǎn)P（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則Q（x₁，-y₁）
由②知，
直線RQ的方程為
當(dāng)k≠0時，令y=0，得，將y₁=k（x₂-4），y₂=k（x₂-4）代入整理得
…③
再將代入③計算得，x=1即直線QR過定點(diǎn)（1，0）

當(dāng)k=0時，y₁=y₂=0，直線QR過定點(diǎn)（1，0）
綜上可得，直線QR與x軸交于定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）．
點(diǎn)評：本題考查求曲線方程的方法中相關(guān)點(diǎn)代入法以及直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的方程和定點(diǎn)問題，在高考中定值也是考查的重點(diǎn)．