Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，${a}_{n}={（-1）}^{n}（2n-1）$，n∈N^*．
（Ⅰ）求S₁，S₂，S₃；
（Ⅱ）由（Ⅰ）推測S_n的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的推測．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)a_n=（-1）ⁿ（2n-1），可求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想S_n的表達式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進行證明．

解答 解：（1）依題設(shè)可得S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，
（Ⅱ）猜想：${S}_{n}={（-1）}^{n}n$，
證明：①當(dāng)n=1時，猜想顯然成立
②假設(shè)n=k時，猜想成立，即${S}_{k}={（-1）}^{k}k$…（7分）
當(dāng)n=k+1時，S_k+1=（-1）^k•k+a_k+1=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1•（k+1），
即n=k+1時，猜想也成立，
由①和②，可知，對于一切n∈N^*，猜想成立

點評 本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，第（Ⅰ）問要注意遞推公式的靈活運用，第二問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．