Question

14．若直線ax+y-2=0與圓心為C的圓（x-1）²+（y-a）²=16相交于A，B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，則實(shí)數(shù)a的值是-1．

Answer 1

分析 由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合圓的知識(shí)可得△ABC為等腰直角三角形，求出圓的圓心和半徑，弦長(zhǎng)AB，以及圓心到直線的距離，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，解方程即可得到a的值．

解答 解：由題意$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，
結(jié)合圓的知識(shí)可得△ABC為等腰直角三角形，
圓（x-1）²+（y-a）²=16的圓心C（1，a），半徑r=4，
弦長(zhǎng)AB=4$\sqrt{2}$，
由等腰直角三角形的性質(zhì)可得C到直線的距離為d=2$\sqrt{2}$，
即有$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
解得a=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)求法和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查等腰直角三角形的性質(zhì)，以及點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．