已知函數(shù)g(x)=
12
mx2-2x+l+ln(x+l)(m≥1).
(1)若曲線C:y=g(x)在點P(0,1)處的切線l與曲線C有且只有一個公共點,求m的值;
(2)求證:函數(shù)g(x)存在單凋減區(qū)間[a,b];
(3)若c=b-a,求c的取值范圍.
分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,進而求出切線的方程,由切線l與曲線C有且只有一個公共點,轉(zhuǎn)化為二者的方程聯(lián)立的方程組有且只有一個解0,再利用導(dǎo)數(shù)即可得出;
(2)函數(shù)g(x)存在單凋減區(qū)間[a,b]?g(x)<0,再由m≥1,x>-1,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可證明;
(3)利用(2)的結(jié)論及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式的性質(zhì)即可求出.
解答:解:(1)∵函數(shù)g(x)=
1
2
mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1),定義域為(-1,+∞).
g(x)=mx-2+
1
x+1
,∴g(0)=-2+1=-1.
∴切線l的方程為:y-1=-x,即y=-x+1,
∵切線l與曲線C有且只有一個公共點,
1
2
mx2-2x+1+ln(x+1)=-x+1有且只有一個解0.
令h(x)=
1
2
mx2-x+ln(x+1)
,
則h(x)=mx-1+
1
x+1
=
mx[x-(
1
m
-1)]
x+1
,
①當(dāng)m=1時,h(x)=
mx2
x+1
≥0
,h(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,滿足有且只有一個解0.
②當(dāng)m>1時,(
1
m
-1)∈(-1,0)
,令h(x)=0,解得x=0或
1
m
-1

列表如下:
由表格畫出圖象:當(dāng)x→-1時,h(x)→-∞,h(
1
m
-1)>h(0)=0
,故在區(qū)間(-1,
1
m
-1)
內(nèi)還有一個交點,
即方程h(x)=0由兩個實數(shù)根,與已知有且僅有一個解矛盾,應(yīng)舍去.
綜上可知:只有m=1滿足題意.
(2)由g(x)=mx-2+
1
x+1
=
mx2+(m-2)x-1
x+1
<0(x>-1)?mx2+(m-2)x-1<0.
令f(x)=mx2+(m-2)x-1(x>-1,m≥1).
則△=(m-2)2+4m=m2+4>0,且其對稱軸x=-
m-2
2m
=
1
m
-
1
2
>-1,
f(-1)=1>0,
∴函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上必有兩個不等實數(shù)根a=
(2-m)-
m2+4
2m
,b=
(2-m)+
m2+4
2m

使得函數(shù)g(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減.
(3)由(2)可知:a+b=
2-m
m
,ab=-
1
m

∴c=b-a=
(b-a)2
=
(b+a)2-4ab
=
1+
4
m2
,
∵m≥1,∴1<
1+
4
m2
5

∴c的取值范圍是(1,
5
]
點評:熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)及“三個二次”的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
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2
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π
2
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