Question

6．已知三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=2，PB=PC=1，則三棱錐P-ABC外接球的體積為$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖，則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．算出長(zhǎng)方體的對(duì)角線即為球直徑，結(jié)合球的體積公式，可算出三棱錐P-ABC外接球的體積．

解答 解：以PA、PB、PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖
則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC外接球．
∵長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴球直徑為$\sqrt{6}$，半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此，三棱錐P-ABC外接球的體積$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\sqrt{6}$π．
故答案為：$\sqrt{6}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，求它的外接球的體積，著重考查了長(zhǎng)方體對(duì)角線公式和球的體積計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．