【答案】
分析:(1)先求出f(x)的解析式,設(shè)曲線C在x
(-4<x
<-1)處有斜率為-8的切線,建立等式,根據(jù)log
2(x
3+ax
2+bx+1)>0消去b得-2
-ax
-8<0,使得2x
2+ax
+8>0 在-4<x
<-1有解,求出a的取值范圍即可;
(2)先求g′(x)=(
+lnx-1)e
x+1,令h(x)=
+lnx-1,然后利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值,從而求出g′(x
)的取值范圍,曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x
處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g′(x
)=0有實(shí)數(shù)解,而g′(x
)>0,即方程g′(x
)=0無實(shí)數(shù)解,從而得到結(jié)論;
(3)令h(x)=
,x≥1,則h′(x)=
,令p(x)=
-ln(1+x),x≥0,利用導(dǎo)數(shù)研究p(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性,從而得到函數(shù)h(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,即可證得結(jié)論.
解答:解:(1)f(x)=F(1,log
2(x
3+ax
2+bx+1))=x
3+ax
2+bx+1,
設(shè)曲線C在x
(-4<x
<-1)處有斜率為-8的切線,
又由題設(shè)知log
2(x
3+ax
2+bx+1)>0,f′(x)=3x
2+2ax+b,3x
2+2ax
+b=-8 ①
∴存在實(shí)數(shù)b使得-4<x
<-1 ②有解,(3分)
x
3+ax
2+bx
>0 ③
由①得b=-8-3
-2ax
,代入③得-2
-ax
-8<0,
∴由 2x
2+ax
+8>0 在-4<x
<-1有解,
得2×(-4)
2+a×(-4)+8>0或2×(-1)
2+a×(-1)+8>0,
∴a<10或a<10,∴a<10、(5分)
(2)∵g(x)=(lnx-1)e
x+x,
∴g′(x)=(lnx-1)′e
x+(lnx-1)(e
x)′+1=
+(lnx-1)e
x+1=(
+lnx-1)e
x+1.(6分)
設(shè)h(x)=
+lnx-1、則h′(x)=-
+
=
,
當(dāng)x∈[1,e]時(shí),h′(x)≥0.
h(x)為增函數(shù),因此h(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為ln1=0,即
+lnx-1≥0.
當(dāng)x
∈[1,e]時(shí),ex
>0,
+lnx
-1≥0,
∴g′(x
)=(
+lnx
-1)ex
+1≥1>0.(8分)
曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x
處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g′(x
)=0有實(shí)數(shù)解,
而g′(x
)>0,即方程g′(x
)=0無實(shí)數(shù)解.
故不存在實(shí)數(shù)x
∈[1,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x
處的切線與y軸垂直.(9分)
(3)證明:令h(x)=
,x≥1,由h′(x)=
,
又令p(x)=
-ln(1+x),x≥0,
∴p′(x)=
-
=
≤0,
∴p(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x>0時(shí),有p(x)<p(0)=0,
∴當(dāng)x≥1時(shí),有h′(x)<0,
∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,(11分)
∴當(dāng)1≤x<y時(shí),有
>
,
∴yln(1+x)>xln(1+y),∴(1+x)
y>(1+y)
x,
∴當(dāng)x,y∈N
?,且x<y時(shí),F(xiàn)(x,y)>F(y,x).(13分)
點(diǎn)評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.