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已知
a
=(sinx,-cosx),
b
=(
3
cosx,cosx)
,函數f(x)=
a
b
-
1
2
,x∈R.
(1)求函數f(x)的最大值和最小正周期;
(2)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別a,b,c且c=3,f(C)=0,若sin(A+C)=2sinA,求a,b的值.
分析:(1)利用向量的數量積公式,結合二倍角公式,輔助角公式,化簡函數,即可求函數f(x)的最大值和最小正周期;
(2)先求C,再根據sin(A+C)=2sinA,求A,可得三角形為直角三角形,從而可得結論.
解答:解:(1)∵
a
=(sinx,-cosx),
b
=(
3
cosx,cosx)

f(x)=
a
b
-
1
2
=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1
=sin(2x-
π
6
)-1
∴sin(2x-
π
6
)=1時,函數f(x)的最大值為0
函數的最小正周期為T=
2
=π;
(2)∵f(C)=0,∴sin(2C-
π
6
)-1=0,∴C=
π
3

∵sin(A+C)=2sinA,∴sin(A+
π
3
)=2sinA,∴tanA=
3
3
,∴A=
π
6

∴B=
π
2

∵c=3,
∴a=3tan
π
6
=
3
,b=2
3
點評:本題考查向量的數量積運算,考查三角函數的化簡,考查學生的計算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知
a
=(sinx,1)
b
=(2cosx,2+cos2x)
,函數f(x)=
a
b

(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求函數f(x)的最大值及取得最大值的自變量x的集合.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知
a
=(sinx,cosx)
,
b
=(
3
cosx,cosx)
,設函數f(x)=
a
b
(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間;
(2)當x∈[-
π
6
,
12
]
時,求f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知
a
=(sinx,-cosx),
b
=(cosx,
3
cosx)
,函數f(x)=
a
b
+
3
2

(1)求f(x)的最小正周期,并求其圖象對稱中心的坐標;
(2)當0≤x≤
π
2
時,求函數f(x)的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•蕪湖二模)已知
a
=(sinx,1)
,
b
=(cosx,-
1
2
)
,函數f(x)=
a
•(
a
-
b
)
,那么下列四個命題中正確命題的序號是
②③④
②③④

①f(x)是周期函數,其最小正周期為2π.
②當x=
π
8
時,f(x)有最小值2-
2
2

③[-
7
8
π,-
3
8
π]是函數f(x)的一個單調遞增區(qū)間;
④點(-
π
8
,2)是函數f(x)的一個對稱中心.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知
a
=(sinx,cosx),
b
=(
3
cosx,cosx)
,設函數f(x)=
a
b
(x∈R)
(1)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間;
(2)當x∈[-
π
6
,
12
]
時,求f(x)的最值并指出此時相應的x的值.

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