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已知
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，函數f(x)=
a
•
b
-
1
2
，x∈R．
（1）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設△ABC的內角A，B，C的對邊分別a，b，c且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．
分析：（1）利用向量的數量積公式，結合二倍角公式，輔助角公式，化簡函數，即可求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（2）先求C，再根據sin（A+C）=2sinA，求A，可得三角形為直角三角形，從而可得結論．
解答：解：（1）∵
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)
∴f(x)=
a
•
b
-
1
2
=
3
sinxcosx-cos2x-
1
2
=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x-1=sin（2x-
π
6
）-1
∴sin（2x-
π
6
）=1時，函數f（x）的最大值為0
函數的最小正周期為T=
2π
2
=π；
（2）∵f（C）=0，∴sin（2C-
π
6
）-1=0，∴C=
π
3

∵sin（A+C）=2sinA，∴sin（A+
π
3
）=2sinA，∴tanA=
3
3
，∴A=
π
6

∴B=
π
2

∵c=3，
∴a=3tan
π
6
=
3
，b=2
3
．
點評：本題考查向量的數量積運算，考查三角函數的化簡，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sinx，1)，
b
=(2cosx，2+cos2x)，函數f（x）=
a
•
b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）的最大值及取得最大值的自變量x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，設函數f（x）=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-
π
6
，
5π
12
]時，求f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sinx，-cosx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，函數f(x)=
a
•
b
+
3
2
．
（1）求f（x）的最小正周期，并求其圖象對稱中心的坐標；
（2）當0≤x≤
π
2
時，求函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）已知
a
=(sinx，1)，
b
=(cosx，-
1
2
)，函數f(x)=
a
•(
a
-
b
)，那么下列四個命題中正確命題的序號是
②③④
②③④
．
①f（x）是周期函數，其最小正周期為2π．
②當x=
π
8
時，f（x）有最小值2-
2
2
．
③[-
7
8
π，-
3
8
π]是函數f（x）的一個單調遞增區(qū)間；
④點（-
π
8
，2）是函數f（x）的一個對稱中心．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
=(sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，cosx)，設函數f(x)=
a
•
b
（x∈R）
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（2）當x∈[-
π
6
，
5π
12
]時，求f（x）的最值并指出此時相應的x的值．

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