Question

已知A是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上的一個動點，弦AB．AC所在的直線分別過焦點F₁、F₂，且當AB⊥AC時，恰好有|

AF1

|=2|

AF2

|或2|

AF1

|=|

AF2

|．
（1）求雙曲線C的離心率
（2）設

AF1

=λ1

F1B

，

AF2

=λ2

F2C

，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是，求出該定值，若不是，則求出λ₁+λ₂的取值范圍．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,雙曲線的簡單性質

專題：計算題

分析：（1）不妨設A在雙曲線右支上，即|

AF1

|=2|

AF2

|，由AB⊥AC可得|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²結合|AF₁|-|AF₂|=2a，|F₁F₂|=2可求雙曲線C的離心率e
（2）設A（x₀，y₀）B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）分別表示出

AF1

，

F1B

根據

AF1

=λ1

F1B

，整理x₁，y₁表達式代入雙曲線的方程中，把（x₀，y₀）代入，兩式相減可得x₀與λ₁的關系，同理可得x₀與λ₂的關系，進進而可求

解答： 解：（1）不妨設A在雙曲線右支上，即|

AF1

|=2|

AF2

|，
∵AB⊥AC，∴△AF₁F₂為直角三角形，AF₁，AF₂為兩直角邊，∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²
又|AF₁|-|AF₂|=2a，|F₁F₂|=2c
∴

1

e

=

|AF1|-|AF2|

|F2F2|

=

|AF2|

|F1F2|

=sin∠AF₁F₂=

1

5

∴雙曲線C的離心率e=

5

（2）y由（1）可得雙曲線的方程位為：

x2

a2

-

y2

4a2

=1即4x²-y²=4a²
設A（x₀，y₀）B（x₁，y₁）C（x₂，y₂）
由

AF1

=λ1

F1B

，可得

- 5 a-x0=λ1(x1+ 5 a)    -y0=λ1y1

整理可得，

x1= - 5 a-x0 λ1 - 5 a y1= - y0 λ1

代入到雙曲線整理可得，4(

5

a+x0+

5

λ1a)2-y02=4(λ1a)2
∵4x₀²-y₀²=4a²兩式相減整理可得

5

x0=-(2λ1+3)a
同理可得，

5

x0=(2 λ2 +3)a
λ₁+λ₂=-3

點評：本題主要考查了橢圓的應用．涉及了橢圓的基本性質和利用向量的運算解決橢圓與直線的關系的問題，要求學生具有對知識的綜合、整合的能力．