Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的極值；

（Ⅱ）當時，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)求導，根據(jù)討論的取值及的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值；

（Ⅱ）根據(jù)當時，恒成立，轉化為恒成立，再構造函數(shù)，利用導數(shù)及函數(shù)的單調(diào)性討論的范圍求最值得到答案．

（Ⅰ）函數(shù)的定義域為．

當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則函數(shù)無極值；

當時，令，則，

故當時，，當時，，

從而在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當時，函數(shù)取得極小值，無極大值；

綜上可知，當時，函數(shù)無極值；

當時，函數(shù)有極小值，無極大值．

（Ⅱ）當，恒成立，即恒成立，

即恒成立，令,

則恒成立，即，

則必有成立，即．

，

令，則，可知，

由知，當時，，

可知時，，時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故，

所以只需，即，故；

當時，，可知）時，，

時，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故，只需，

即成立，即．

綜上可知，的取值范圍為．